Electronic Resource
“Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses For Junior Section Vol. 2”
Buku “Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses For Junior Section Vol. 2” merupakan kelanjutan dari series Vol.1 di mana buku ini bisa dijadikan pegangan bagi guru, terutama guru olimpiade. Walaupun buku ini ditujukan ditujukan kepada guru olimpiade jenjang SMP, namun beberapa materi dapat dipelajari untuk jenjang SD. Ada 15 topik kelanjutan dari series pertama dalam buku ini, di antaranya yaitu:
1. Quadratic Surd Expressions and Their Operations
2. Compound Quadratic Surd Form √ √
3. Congruence of Integers
4. Decimal Representation of Integers
5. Perfect Square Number
6. Pigeonhole Principle
7. [x] and {x}
8. Diophantine Equations (I)
9. Roots and Discriminant of Quadratic Equation
10. Relation between Roots and Coefficients of Quadratic Equations
11. Diophantine Equations (II)
12. Linear Inequality and System of Linear Inequalities
13. Quadratic Inequalities and Fractional Inequalities
14. Inequalities with Absolute Values
15. Geometric Inequalities
Namun jika dikaitkan dengan pembelajaran di SD, ada beberapa pelajaran yang relevan saja. Berikut ini rangkuman materi yang sekiranya relevan dengan pembelajaran olimpiade jenjang SD.
1. Congruence of Integers
Definisi 1
Ketika bilangan bulat n dibagi dengan bilangan bulat bukan nol m, harus ada menjadi hasil bagi integral q dan sisa r, di mana 0 |r| m. Hubungan ini dilambangkan dengan
n = mq + r
dan proses untuk mendapatkan relasi ini disebut pembagian dengan sisa.
Definisi 2
Dua bilangan bulat a dan b dikatakan sebagai modulo kongruen m, dilambangkan oleh a b (mod m), jika a dan b memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan bilangan bulat bukan nol m. Jika sisanya berbeda, maka a dan b dikatakan bukan modulo kongruen m, dilambangkan dengan a b (mod m).
Menurut definisi kongruensi, empat relasi ekivalen berikut adalah:
a b mod (m) a – b = km a – b 0 (mod m) m | (a – b)
Sifat Dasar Kongruensi
a. Jika a b (mod m) dan b c (mod m), maka a c (mod m)
b. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka
(a + c) (b + d) (mod m), (a - c) (b - d) (mod m)
c. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka a . c b . d (mod m)
d. Jika a b (mod m) maka a
n b
n
(mod m) untuk semua bilangan asli n
e. Jika ac bc (mod m) dan (c, m) = 1, maka a b (mod m)
2. Perfect Square Numbers
Definisi
Sebuah bilangan bulat n disebut bilangan kuadrat sempurna (atau singkatnya, kuadrat sempurna), jika ada bilangan bulat m sehingga n = m2
.
Sifat Dasar Bilangan Kuadrat Sempurna
a. Digit satuan dari kuadrat sempurna bisa jadi 0, 1, 4, 5, 6, dan 9 saja. Cukuplah untuk memeriksa bilangan
b. Untuk bilangan kuadrat sempurna apa pun, jumlah nol ekornya (yaitu digit 0s di ujung kanannya) harus genap, karena dalam faktorisasi prima dari n jumlah faktor 2 dan faktor 5 keduanya genap)
3. Pigeonhole Principle
Bentuk Dasar dari Prinsip Lubang Merpati
Prinsip 1 : Ketika m + 1 merpati memasuki m lubang merpati (m adalah bilangan bulat
positif), harus ada setidaknya satu lubang yang memiliki lebih dari 1 merpati. Prinsip 2 : Ketika m + 1 merpati memasuki n lubang merpati, pasti ada satu lubang memiliki setidaknya [ ] + 1 merpati
Prinsip 3 : Ketika tak terhingga banyak elemen dipartisi menjadi tak terhingga banyak himpunan, minimal harus ada satu himpunan yang berisi tak terhingga banyak elemen.
Sangat mudah untuk memahami Prinsip Pigeonhole, dan tiga bentuk di atas dapat dibuktikan sekaligus dengan kontradiksi. Tetapi tidak berarti bahwa penggunaan prinsipnya mudah. Prinsip Pigeonhole memiliki berbagai penerapan.
Tidak tersedia versi lain