Electronic Resource
Mathematics as Problem Solving
Buku “Mathematics as Problem Solving Second Edition” merupakan buku ini bisa digunakan untuk bahan persiapan olimpiade. Dikarenakan materi pada buku ini menjadi dasar dari mempelajari soal-soal olimpiade yang berbasis pemecahan masalah. Dalam buku ini berisi kumpulan masalah yang beragam dari semua bidang matematika sekolah menengah, dan ditulis dengan cara yang hidup dan menarik. Walaupun tingkatannya diperuntukkan untuk tingkat menengah beberapa materi relevan dengan materi olimpiade pada tingkat SD. Untuk materi yag diberikan di buku ini foks pada lima bab yaitu:
1. Language and a Few Celebrated Ideas
2. Numbers
3. Algebra
4. Geometry
5. Combinatorial Problems
Pada dasarnya kelima bab di atas ada termasuk dalam silabus olimpiade matematika SD, namun tidak spesifik pada tingkat menengah. Berikut adalah rangkuman dari kelima bab tersebut yang masuk dalam silabus olimpiade matematika SD.
1. Language and a Few Celebrated Ideas (Bahasa dan Beberapa Ide Terkenal)
Pada bab ini, hanya ada satu sub materi yang relevan yaitu materi prinsip pigeonhole. Prinsip sangkar burung (pigeonhole principle) menyatakan bahwa jika n burung terbang menuju m sangkar dan n > m, maka paling sedikit ada satu sangkar yang memuat dua atau lebih burung.
Contoh soal:
Kota New York memiliki 7.500.000 penduduk. Jumlah maksimalrambut yang bisa tumbuh di kepala manusia adalah 500.000. Buktikan bahwa adasetidaknya 15 penduduk di New York City dengan jumlah rambut yang sama Penyelesaian:
Mari kita siapkan 500.001 lubang merpati yang diberi label bilangan bulat 0 sampai 500.000, dan menempatkan penduduk New York ke dalam lubang yang diberi label
olehjumlah rambut di kepala mereka. Karena 7.500.000 > 14 × 500.001 + 1 kami menyimpulkan dengan Prinsip Pigeonhole bahwa ada lubang merpati dengan setidaknya
14 + 1 merpati, yakni setidaknya ada 15 penduduk BaruYork dengan jumlah rambut yang sama
2. Numbers (Bilangan)
Pada bab ini, membahas tentang sub materi bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan irasional. Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Bilangan rasional adalah adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, seperti bilangan √ dll Berikut contoh soal yang relevan dengan silabus SD adalah sebagai berikut:
Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat n , n5 - 5n3 + 4n habis dibagi 120!
Penyelesaian:
Pertama-tama, mari kita uraikan P (n) = n 5 - 5n3 + 4n dan 120 menjadi faktor:
P (n) = n (n4 – 5n2 + 4) = n (n2 – 1) (n2– 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) 120 = 23 x 3 x 5 Karena untuk setiap bilangan bulat n , P (n) adalah hasil kali dari lima bilangan bulat yang berurutan,dan salah satu dari lima bilangan bulat berurutan adalah kelipatan 5, P (n) adalahhabis dibagi 5 . Demikian pula, dari tiga bilangan bulat berurutan, satu adalah kelipatandari 3 ; oleh karena itu, P (n) habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat n . Dari empat bilangan bulat berurutan, satu adalah kelipatan 4 , plus satu lagi genap. Oleh karena itu, P (n) habis dibagi 4 × 2 = 8 untuk setiap bilangan bulat n . 3. Algebra (Aljabar) Secara materi, materi aljabar bisa digunakan untuk penyelesaian soal olimpiade matematika di tingkat SD. Namun pada buku ini lebih spesifik dalam tingkat SMP dan SMA. 4. Geometry (Geometri) Pada materi geometri pada buku yang relevan hanyalah sub materi simetri, dimana setiap bangun datar ada beberapa yang memiliki simetri lipat ataupun putar, namun beberapa bangun datar terkadang tidak memiliki simetri lipat, seperti jajar genjang, trapesium siku, segitiga sembarang, dll Contoh soal yang relevan dengan tingkat SD adalah sebagai berikut:
Orang yang tinggal di lingkungan A dan bekerja di perusahaan B adalah mengantar anak-anak mereka ke sekolah selama perjalanan untuk bekerja. Dimana di jalan raya L mereka harus membangun sekolah S untuk meminimalkan cara mengemudi mereka? (Saat situs S untuk sekolah adalah terpilih, jalan AS dan SB akan dibangun.)
Penyelesaian: Biarkan A menjadi gambar simetris A sehubungan dengan L . Kemudian |AS’| + |S’B| = |A’S’| + |S’B|. Dari semua yang rusak garis ASB , yang terpendek adalah ruas garis AB Gambarkan gambar simetris A dari A sehubungan dengan L dangaris lurus AB. Persimpangan S dari AB dan L adalah situs untuk sekolah 5. Combinatorial Problems (Masalah Kombinasi) Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Beberapa soal pada buku ini terlalu tinggi untuk tingkat SD. Karena pada materi kombinasi SD yang tingkatnya mudah hingga sedang bisa diselesaikan dengan cara mendaftar/tabel dengan kata lain bisa dilakukan secara manual. Namun untuk soal yang spesifik seringkali menggunakan rumus kombinasi berikut.
Tidak tersedia versi lain